MATEMATYKA   W   GIMNAZJUM

POJĘCIA   -  PRZYKŁADY   -  WYJAŚNIENIA

KLASA   PIERWSZA     



Cyfry, to znaki służące do zapisywania liczb.

Cyfry arabskie, to:   0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Cyfry rzymskie, to:   I; V; X; L; C; D; M.
        (I-1; V-5; X-10; L-50; C-100; D-500; M-1000)

Liczby naturalne, to:   0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; ... .
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy N
      N={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}
Zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich oznaczamy N+
      N+={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}

Liczby parzyste, to takie liczby naturalne, które są podzielne przez 2.
             0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...
Liczby nieparzyste, to takie liczby naturalne, które nie są podzielne przez 2.
             1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; ...
Liczby pierwsze, to takie liczby naturalne, które mają dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i siebie.
             2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; ...
Liczby złożone, to takie liczby naturalne większe od zera, które mają więcej niż dwa dzielniki.
             4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; ...
Liczby 1 i 0 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Liczby dodatnie, to liczby większe od zera.

Liczby ujemne, to liczby mniejsze od zera.

Liczby nieujemne, to liczby większe lub równe zero.

Liczby niedodatnie, to liczby mniejsze lub równe zero.

Liczby całkowite, to liczby naturalne i do nich przeciwne.
Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy C
      C={... -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}
Zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich oznaczamy C+
      C+={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}
Zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych oznaczamy C-
      C-={-1; -2; -3; -4; -5; -6; -7; -8; -9; -10; -11; -12; ...}

Liczby przeciwne, to takie dwie liczby, których suma wynosi zero.
Liczby przeciwne można też określić jako liczby leżące na osi liczbowej po przeciwnych stronach zera w jednakowej odległości od zera.

Liczby odwrotne, to takie dwie liczby, których iloczyn wynosi jeden.

Liczby wymierne, to takie liczby, które można przedstawić w postaci ułamka, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera.
Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy W
Wyróżniamy też zbiór wszystkich liczb wymiernych dodatnich (W+) oraz zbiór wszystkich liczb wymiernych ujemnych (W-).

Liczby niewymierne, to takie liczby, których nie można przedstawić w postaci ilorazu liczb całkowitych. np. p, pierwiastek z liczby 3.
Zbiór wszystkich liczb niewymiernych oznaczamy IW albo NW

Zbiór wszystkich liczb wymiernych i zbiór wszystkich liczb niewymiernych tworzą razem zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Oznaczamy go R.
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich oznaczamy R+ , a zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ujemnych R-


Skracanie ułamka zwykłego polega na dzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę, różną od zera.

Rozszerzanie ułamka zwykłego polega na mnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę, różną od zera.


Ułamek zwykły, w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi nazywamy ułamkiem niewłaściwym.

Liczbę złożoną z całości i ułamka nazywamy liczbą mieszaną.

Ułamki dziesiętne, to ułamki o mianownikach: 10, 100, 1000, 10000, ... .

Jeśli ułamek dziesiętny zostanie zapisany z użyciem przecinka, to mówimy, że zapisano go w postaci dziesiętnej

Skracanie ułamka w postaci dziesiętnej polega na pomijaniu zer końcowych, znajdujących się po przecinku.

np.  162,4060000 = 162,406000 = 162,40600 = 162,4060 = 162,406


Rozszerzanie ułamka w postaci dziesiętnej polega na dopisaniu zer na końcu liczby po przecinku.

np.  605,34 = 605,340 = 605,3400 = 605,34000...



CECHY PODZIELNOŚCI

Liczba naturalna jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta.

Liczba naturalna jest podzielna przez 3, jeśli suma jej wszystkich cyfr jest podzielna przez 3.

Liczba naturalna jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry stanowią liczbę podzielną przez 4.

Liczba naturalna jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.

Liczba naturalna jest podzielna przez 9, jeśli suma jej wszystkich cyfr jest podzielna przez 9.

Liczba naturalna jest podzielna przez 10, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0.

Liczba naturalna jest podzielna przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry,to 25, 50, 75 lub 00.

Liczba naturalna jest podzielna przez 100, jeśli jej dwie ostatnie cyfry są zerami.


Oś liczbowa, jest to prosta, na której ustalono:  punkt zerowy,  zwrot dodatni,  jednostkę.

Liczbę przyporządkowaną do danego punktu na osi liczbowej nazywamy współrzędną tego punktu.

Każdemu punktowi na osi liczbowej jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba rzeczywista.
Każdej liczbie rzeczywistej jest przyporządkowany dokładnie jeden punkt na osi liczbowej.

UWAGA

Przystępując do odczytywania lub zaznaczania na osi liczbowej, należy najpierw ustalić, jaka liczba odpowiada pojedynczemu odcinkowi na osi (pojedynczej "działce").


Wartość bezwzględna z liczby a jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej a od punktu zerowego, liczona w jednostkach osi.

Wartość bezwzględna z liczby nieujemnej, jest tą samą liczbą, wartość bezwzględna z liczby ujemnej jest liczbą do niej przeciwną.

|a|   czyt. wartość bezwzględna z liczby a


np.   |3| = 3,          |-7| = -(-7) = 7,        |0| = 0


Porównać liczby, oznacza ustalić, która jest większa, mniejsza lub, że są równe.

Z dwóch liczb większa jest ta, która na osi liczbowej jest z prawej strony.

Uporządkować liczby rosnąco, oznacza ustawić je od najmniejszej do największej.

Uporządkować liczby malejąco, oznacza ustawić je od największej do najmniejszej.

Jeżeli ułamki zwykłe dodatnie mają jednakowe mianowniki, to większy jest ten, który ma większy licznik.

Jeżeli ułamki zwykłe dodatnie mają jednakowe liczniki, to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.

Z dwóch ułamków dodatnich w postaci dziesiętnej większy jest ten, który ma więcej całości. Jeśli całości jest tyle samo, to większy jest ten, który ma większą pierwszą cyfrę po przecinku. Jeśli te cyfry są równe, to większy jest ten, który ma większą drugą cyfrę po przecinku, ... .

Z dwóch liczb ujemnych większa jest ta, która ma mniejszą wartość bezwzględną.



Wyznaczając rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej, doprowadzamy ją do mianownika 10, 100, 1000, ... lub dzielimy licznik przez mianownik.

Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne albo skończone, albo nieskończone okresowe.

np.  3/8 = 0,375       1/6 = 0,1666...


Zapis 0,1666... można przedstawić w postaci 0,1(6). Nazywamy go ułamkiem okresowym. Grupę cyfr znajdującą się w nawiasie nazywamy okresem.

Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone nieokresowe.


NAZWY RZĘDÓW W LICZBIE
ZAPISANEJ W POSTACI DZIESIĘTNEJ

ZASADY ZAOKRĄGLANIA

  1. Ustalamy, do którego miejsca (rzędu) zaokrąglamy.

  2. Odczytujemy cyfrę znajdującą się z prawej strony ustalonego miejsca.

Przykład.
Zaokąglić liczbę 29952,6378 z dokładnością do:

a) dziesiątek, czyli (10):               29952,6378 ˜ 29950,0000   czyli 29950

b) części dziesiątych, czyli (0,1):         29952,6378 ˜ 29952,6000   czyli  29952,6

c) setek, czyli (100):         29952,6378 ˜ 30000,0000   czyli  30000

d) części setnych, czyli (0,01):         29952,6378 ˜ 29952,6400   czyli  29952,64

e) jedności, czyli (1):               29952,6378 ˜ 29953,0000   czyli  29953



Aby dodać ułamki zwykłe o jednakowych mianownikach, należy dodać ich liczniki, a mianownik przepisać bez zmian.

Aby dodać ułamki zwykłe o różnych mianownikach, należy sprowadzić ułamki do jednakowych mianowników, a następnie postąpić tak, jak podano wyżej.

Aby odjąć ułamki zwykłe o jednakowych mianownikach, należy odjąć ich liczniki, a mianownik przepisać bez zmian.

Aby odjąć ułamki zwykłe o różnych mianownikach, należy sprowadzić ułamki do jednakowych mianowników, a następnie postąpić tak, jak podano wyżej.

UWAGA

Przy dodawaniu i odejmowaniu pisemnym ułamków w postaci dziesiętnej należy pamiętać o podpisaniu ich tak, by przecinek znajdował się pod przecinkiem.

Mnożąc ułamek zwykły przez ułamek zwykły, mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Mnożąc ułamek zwykły przez liczbę, mnożymy licznik przez tę liczbę, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

Ułamki w postaci dziesiętnej mnożymy tak, jak liczby naturalne, a następnie w wyniku wstawiamy przecinek tak, by było tyle miejsc po przecinku, ile było razem w mnożonych liczbach.

Dzieląc ułamek zwykły przez ułamek zwykły, pierwszy z ułamków przepisujemy i mnożymy przez odwrotność drugiego.

Dzieląc pisemnie ułamki w postaci dziesiętnej, należy pamiętać, by w dzielniku nie było przecinka (jeśli potrzeba - przesuwamy przecinek w dzielnej i w dzielniku o tyle miejsc w prawo, ile jest w dzielniku).

Mnożąc ułamek w postaci dziesiętnej przez liczbę 10, 100, 1000, ..., przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc, ile było zer w mnożonej liczbie (jeśli brakuje miejsc do przesuwania przecinka - dopisujemy zera).

Dzieląc ułamek w postaci dziesiętnej przez liczbę 10, 100, 1000, ..., przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc, ile było zer w mnożonej liczbie (jeśli brakuje miejsc do przesuwania przecinka - dopisujemy zera).

UWAGA
Działania z jednego poziomu wykonuje się w kolejności od lewej.


Przykład działania "windy".

7 * (30 + 7) = 7 * 30 + 7 * 7 = 210 + 49 = 259

WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ


DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH

Aby dodać dwie liczby o takim samym znaku, należy dodać ich wartości bezwzględne i przed wynikiem postawić znak tych liczb.


Aby dodać dwie liczby o różnych znakach, należy od większej wartości bezwzględnej odjąć mniejszą wartość bezwzględną, a przed wynikiem postawić znak tej liczby, która ma większą wartość bezwzględną.



Odjąć, oznacza dodać liczbę przeciwną.




Procenty, to części setne (danej wielkości, liczby). Można też powiedzieć, że procenty,to ułamki o mianowniku 100.

Aby zamienić liczbę na procenty, należy przedstawić ją w postaci ułamka o mianowniku 100 (przez skracanie, rozszerzanie) lub pomnożyć przez 100%.

Aby zamienić procenty na liczbę, należy ilość procentów podzielić przez 100 lub pomnożyć przez 1/100.

Aby obliczyć procent danej liczby, należy pomnożyć procenty przez tę liczbę.

Aby obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, należy podzielić drugą liczbę przez pierwszą i wynik zamienić na procenty.

UWAGA.
Jeżeli mamy wątpliwości, którą liczbę podzielić przez którą,
zadajemy pytanie - której liczby? - i przez nią dzielimy.


Aby wyznaczyć liczbę mając jej pewien procent, należy wyznaczyć 100% tej liczby lub rozwiązać równanie, w którym szukana liczba jest niewiadomą.